平面向量总结4篇

第1篇 高二数学平面向量知识点总结

高二数学平面向量知识点总结

平面向量

1.基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2. 加法与减法的代数运算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

3.实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)| |=| |

(2) 当 a0时， 与a的方向相同;当a0时， 与a的方向相反;当 a=0时，a=0.

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= .

(2) 若 =( ),b=( )则 ‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2.

4.p分有向线段 所成的比：

设p1、p2是直线 上两个点，点p是 上不同于p1、p2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点p分有向线段 所成的比。

当点p在线段 上时， 当点p在线段 或 的延长线上时，

分点坐标公式：若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( -1)， 中点坐标公式： .

5. 向量的数量积：

(1).向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则aob= ( )叫做向量 与b的夹角。

(2).两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b=| ||b|cos .

其中|b|cos 称为向量b在 方向上的投影.

(3).向量的数量积的性质：

若 =( ),b=( )则e = e=| |cos (e为单位向量);

b b=0 ( ，b为非零向量);| |= ;

cos = = .

(4) .向量的`数量积的运算律：

b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.

6.主要思想与方法：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。

第2篇 平面向量的数量积知识点总结的内容

平面向量的数量积知识点总结的内容

教学过程：

一、复习引入：

1. 向量共线定理? 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ .

2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数λ1，λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的坐标表示

分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得

把 叫做向量 的(直角)坐标，记作

4.平面向量的坐标运算

若 ， ，则? ，? ， .

若 ， ，则

5. ∥? ( ? )的充要条件是x1y2-x2y1=0

6.线段的定比分点及λ

p1， p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1， p2的任一点，存在实数λ，

使? =λ ，λ叫做点p分 所成的比，有三种情况：

λ>;0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1)??? ( 外分)λ<0? (-1<λ<0)

7. 定比分点坐标公式：

若点p1(x1，y1) ，p2(x2，y2)，λ为实数，且 =λ ，则点p的坐标为( )，我们称λ为点p分 所成的比.

8. 点p的位置与λ的范围的关系：

①当λ>;0时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点.

②当λ<0( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点o，设 =a， =b，

可得 = .

10.力做的功：w = |f|?|s|cos?，?是f与s的夹角.

二、讲解新课：

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作 =a， =b，则∠aob=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

说明：(1)当θ=0时，a与b同向;

(2)当θ=π时，a与b反向;

(3)当θ= 时，a与b垂直，记a⊥b;

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0?≤?≤180?

2.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫a与b的数量积，记作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，

(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

?探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a?b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的.数量的积，书写时要严格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因为其中cos?有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c? a = c

如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||oa|，b?c = |b||c|cos? = |b||oa|

? a?b = b?c? 但a ? c

(5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3.“投影”的概念：作图

定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为负值;当?为直角时投影为0;当? = 0?时投影为 |b|;当? = 180?时投影为 ?|b|.

4.向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积.

5.两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1?? e?a = a?e =|a|cos?

2?? a?b ? a?b = 0

3?? 当a与b同向时，a?b = |a||b|;当a与b反向时，a?b = ?|a||b|. 特别的a?a = |a|2或

4?? cos? =

5?? |a?b| ≤ |a||b|

三、讲解范例：

例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a?b.

例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)?(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

例4 判断正误，并简要说明理由.

①a?0=0;②0?a=0;③0- = ;④|a?b|=|a||b|;⑤若a≠0，则对任一非零b有a?b≠0;⑥a?b=0，则a与b中至少有一个为0;⑦对任意向量a，b，с都有(a?b)с=a(b?с);⑧a与b是两个单位向量，则a2=b2.

解：上述8个命题中只有③⑧正确;

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0?a=0;对于②：应有0?a=0;

对于④：由数量积定义有|a?b|=|a|?|b|?|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a?b|=|a|?|b|;

对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a?b=0;

对于⑥：由a?b=0可知a⊥b可以都非零;

对于⑦：若a与с共线，记a=λс.

则a?b=(λс)?b=λ(с?b)=λ(b?с)，

∴(a?b)?с=λ(b?с)с=(b?с)λс=(b?с)a

若a与с不共线，则(a?b)с≠(b?с)a.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6 已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a?b.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，

∴a?b=|a|?|b|cos0°=3×6×1=18;

若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，

∴a?b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18;

②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，

∴a?b=0;

③当a与b的夹角是60°时，有

a?b=|a||b|cos60°=3×6× =

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是[0°，180°]，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.

第3篇 平面向量的公式的高中数学知识点总结

平面向量的公式的高中数学知识点总结

鉴于数学知识点的重要性，小编为您提供了这篇有关平面向量的公式的高中数学知识点总结，希望对同学们的数学有所帮助。

定比分点

定比分点公式(向量p1p=λ向量pp2)

设p1、p2是直线上的两点，p是l上不同于p1、p2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量p1p=λ向量pp2，λ叫做点p分有向线段p1p2所成的比。

若p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，p(x,y)，则有

op=(op1+λop2)(1+λ);(定比分点向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式

三点共线定理

若oc=λoa +μob ,且λ+μ=1 ,则a、b、c三点共线

三角形重心判断式

在△abc中，若ga +gb +gc=o,则g为△abc的重心

[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 ab=0。

a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量.

设a=(x，y)，b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

ab+bc=ac。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0

ab-ac=cb. 即“共同起点，指向被减”

a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且?λa?=?λ??a?。

当λ>;0时，λa与a同方向;

当λ<0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的.系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当?λ?>;1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的?λ?倍;

当?λ?<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>;0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的?λ?倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=abcos〈a，b〉;若a、b共线，则ab=+-?a??b?。

向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。

向量的数量积的运算律

ab=ba(交换律);

(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);

(a+b)c=ac+bc(分配律);

向量的数量积的性质

aa=a的平方。

a⊥b 〈=〉ab=0。

ab≤ab。

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a≠0)，推不出 b=c。

3、ab≠ab

4、由 a=b ，推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：?a×b?=absin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。

向量的向量积性质：

?a×b?是以a和b为边的平行四边形面积。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量积运算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量ab/向量cd”是没有意义的。

向量的三角形不等式

1、??a?-?b??≤?a+b?≤?a?+?b?;

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。

2、??a?-?b??≤?a-b?≤?a?+?b?。

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

这篇有关平面向量的公式的高中数学知识点总结，是小编精心为同学们准备的，祝大家学习愉快!

第4篇 高一数学必修一平面向量知识点总结

高一数学必修一平面向量知识点总结

数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.

零向量：长度为的向量.

单位向量：长度等于个单位的向量.

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算

加法运算

ab+bc=ac，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点o出发的两个向量oa、ob，以oa、ob为邻边作平行四边形oacb，则以o为起点的对角线oc就是向量oa、ob的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ >;0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的'数量积为0。

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。